Frases Matemáticas

Algumas frases que nos levam a pensar na mportância da matemática

 

- O grande arquiteto do Universo começa a parecer-nos um puro matemático. (James Jeans)

 

- Deus é o Geômetra Onipotente para quem o mundo é imenso problema matemático. (Leibniz)

 

- Se A é o sucesso, então é igual a X mais Y mais Z. O trabalho é X; Y é o lazer; e Z é manter a boca fechada. (Albert Einstein)

 

- A música é um exercício inconsciente de cálculos. (Leibniz)

 

- Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta. (Karl Weierstrass)

 

- A Matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha das matemáticas. (Gauss)

 

- Os números governam o mundo. (Platão)

 

- Zero, esse nada que é tudo. (Laisant)

 

- O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. (Galileu)

 

- A escada da Sabedoria tem os degraus feitos de números. (Blavatsky)

 

- A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard)

 

- A natureza está escrita em linguagem matemática. (Galileu)

 

- Toda a minha Física não passa de uma Geometria. (Descartes)

 

- As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. (Kepler)

Intervalos Numéricos

Dados dois números reais quaisquer a e b, chama-se intervalo ao conjunto de todos números reais compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b.

Os números a e b são os extremos limites do intervalo, sendo o módulo, a diferença a - b, chamada amplitude do intervalo.

De forma simplificada, podemos afirmar que: Intervalo é qualquer subconjunto dos números reais.

Estes intervalos, representados nas retas, representam a solução de problemas relacionados matematicamente com as inequações do 1º grau com uma incógnita.
Os intervalos numéricos podem ser finitos ou infinitos.

Intervalos Finitos

Nos intervalos finitos temos os intervalos classificados como: aberto, fechado, fechado à direita e aberto à esquerda e o intervalo aberto à direita e fechado à esquerda. Observe!

Dados dois números reais a e b, com a < b, temos:

1. Intervalo Aberto:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a < x < b } ou ]a, b[ ou (a,b)

   
   
2. Intervalo Fechado:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a x b } ou [a, b]

   
   
3. Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a < x b } ou ]a, b] ou (a,b]

   
   
4. Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a x < b } ou [a, b[ ou [a,b)

Intervalos Infinitos

Os intervalos infinitos se caracterizam em: infinito à esquerda, infinito à direta ou infinito à esquerda e à direita. Observe, que nestes casos surge o símbolo matemático de infinito ( ). Para representar infinito à esquerda usamos o símbolo (- ) e para representar o infinito à direita usamos o símbolo (+ ).

Observe, os exemplos:

Os intervalos (1) e (2) são intervalos infinitos à direita e, os intervalos (3) e (4) são intervalos infinitos à esquerda.

A própria reta real é um intervalo infinito à direita e à esquerda e, é nomeada por: ] , [ = { x IR | < x < } = IR = ( , )

 

 

 

 

Resumo

 

 

TIPOS	REPRESENTAÇÃO	OBSERVAÇÃO
Intervalo fechado	[a,b] = {x IR | a x b}	Inclui os limites a e b
Intervalo aberto	]a,b[ = { x IR | a < x < b}	Exclui os limites a e b
Intervalo fechado a esquerda	[a,b[ = { x IR | a x < b}	Inclui a e exclui b
Intervalo fechado a direita	]a,b] = {x IR | a < x b}	Exclui a e inclui b
Intervalo semi-fechado	[a, ) = {x IR | x a}	Valores maiores ou iguais a
Intervalo semi-fechado	( , b] = { x IR | x b}	Valores menores ou iguais b
Intervalo semi-aberto	( , b[ = { x IR | x < b}	Valores menores do que b
Intervalo semi-aberto	]a, ) = { x IR | x > a }	Valores maiores do que a

Produtos Notáveis

 Produtos Notáveis

1.    O quadrado da soma de dois termos

Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

2.    O quadrado da diferença de dois termos

Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a – b)² = (a – b) . (a – b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

 Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

3. O produto da soma pela diferença de dois termos

Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

4. O cubo da soma de dois termos

Consideremos o caso a seguir:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)² → potência de mesma base.

(a + b).(a² + 2ab + b²) → (a + b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

5. O cubo da diferença de dois termos

Acompanhem o caso seguinte:

(a – b)³ = (a – b).(a – b)² → potência de mesma base.

 (a – b).(a² – 2ab + b²) → (a – b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

Resumo