Notação Científica

Notação Científica

Mantissa e Ordem de Grandeza

Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:

Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que 10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um numero inteiro.

Exemplos de Números Escritos em Notação Científica

Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.

A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.

Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.

Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa.

Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:

2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.

Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 10³ como compensação.

Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:

Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10^-3. Veja que neste caso a ordem de grandeza é negativa.

Veja o número 1 escrito em notação científica:

Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem de grandeza é igual a 0.

Mudando a Posição da Vírgula e Ajustando o Expoente

Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o procedimento a ser realizado é o seguinte:

Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente.

Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente.

Como visto acima, 12,5 _. 10^-1 não está na forma padronizada, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e também acrescentar 1 unidade ao expoente, o que resulta em 1,25 _. 10⁰.

No caso do número 0,0078 _. 10⁵ precisamos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e subtrair 3 unidades do expoente, resultando em 7,8 _. 10².

Equação da Reta

Equação da Reta

Equação fundamental da reta

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x_A, y_A) e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x_A, y_A). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

A equação fundamenta da reta é:

Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

 

Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

 

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Equação segmentária da reta

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

 Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:



Equação Geral da Reta

Equação Geral da Reta

Os estudos em Geometria Analítica demonstram que uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação. Euclides, em seus teoremas e postulados, fundamentalizava que uma reta passa por infinitos pontos e que por dois pontos passa somente uma única reta. Partindo desse princípio estabelecemos que em uma reta os pontos são colineares. Dada uma reta, podemos constituir sua equação geral partindo da definição de localização de dois pontos pertencentes à reta r: ponto A de coordenadas (x₁,y₁), ponto B de coordenadas (x₂,y₂) e um ponto Q (x,y)

Usaremos a seguinte matriz na definição da equação geral da reta:

 

Desenvolvendo o determinante da matriz encontramos a equação geral da reta:

x₁y₂ + xy₁ + x₂y – xy₂ – x₂y₁ – x₁y = 0
x(y₁ – y₂) + y(x₂ – x₁) + (x₁y₂ – x₂y₁) = 0

Os valores em x e y são números reais, então podemos considerar a seguinte situação:
y₁ – y₂ = a
x₂ – x₁ = b
x₁y₂ – x₂y₁ = c

A equação geral da reta: ax + by + c = 0

Frases Matemáticas

Algumas frases que nos levam a pensar na mportância da matemática

 

- O grande arquiteto do Universo começa a parecer-nos um puro matemático. (James Jeans)

 

- Deus é o Geômetra Onipotente para quem o mundo é imenso problema matemático. (Leibniz)

 

- Se A é o sucesso, então é igual a X mais Y mais Z. O trabalho é X; Y é o lazer; e Z é manter a boca fechada. (Albert Einstein)

 

- A música é um exercício inconsciente de cálculos. (Leibniz)

 

- Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta. (Karl Weierstrass)

 

- A Matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha das matemáticas. (Gauss)

 

- Os números governam o mundo. (Platão)

 

- Zero, esse nada que é tudo. (Laisant)

 

- O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. (Galileu)

 

- A escada da Sabedoria tem os degraus feitos de números. (Blavatsky)

 

- A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard)

 

- A natureza está escrita em linguagem matemática. (Galileu)

 

- Toda a minha Física não passa de uma Geometria. (Descartes)

 

- As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. (Kepler)

Intervalos Numéricos

Dados dois números reais quaisquer a e b, chama-se intervalo ao conjunto de todos números reais compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b.

Os números a e b são os extremos limites do intervalo, sendo o módulo, a diferença a - b, chamada amplitude do intervalo.

De forma simplificada, podemos afirmar que: Intervalo é qualquer subconjunto dos números reais.

Estes intervalos, representados nas retas, representam a solução de problemas relacionados matematicamente com as inequações do 1º grau com uma incógnita.
Os intervalos numéricos podem ser finitos ou infinitos.

Intervalos Finitos

Nos intervalos finitos temos os intervalos classificados como: aberto, fechado, fechado à direita e aberto à esquerda e o intervalo aberto à direita e fechado à esquerda. Observe!

Dados dois números reais a e b, com a < b, temos:

1. Intervalo Aberto:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a < x < b } ou ]a, b[ ou (a,b)

   
   
2. Intervalo Fechado:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a x b } ou [a, b]

   
   
3. Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a < x b } ou ]a, b] ou (a,b]

   
   
4. Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda:
   

   Representação gráfica:
   Representação algébrica:	{ x IR | a x < b } ou [a, b[ ou [a,b)

Intervalos Infinitos

Os intervalos infinitos se caracterizam em: infinito à esquerda, infinito à direta ou infinito à esquerda e à direita. Observe, que nestes casos surge o símbolo matemático de infinito ( ). Para representar infinito à esquerda usamos o símbolo (- ) e para representar o infinito à direita usamos o símbolo (+ ).

Observe, os exemplos:

Os intervalos (1) e (2) são intervalos infinitos à direita e, os intervalos (3) e (4) são intervalos infinitos à esquerda.

A própria reta real é um intervalo infinito à direita e à esquerda e, é nomeada por: ] , [ = { x IR | < x < } = IR = ( , )

 

 

 

 

Resumo

 

 

TIPOS	REPRESENTAÇÃO	OBSERVAÇÃO
Intervalo fechado	[a,b] = {x IR | a x b}	Inclui os limites a e b
Intervalo aberto	]a,b[ = { x IR | a < x < b}	Exclui os limites a e b
Intervalo fechado a esquerda	[a,b[ = { x IR | a x < b}	Inclui a e exclui b
Intervalo fechado a direita	]a,b] = {x IR | a < x b}	Exclui a e inclui b
Intervalo semi-fechado	[a, ) = {x IR | x a}	Valores maiores ou iguais a
Intervalo semi-fechado	( , b] = { x IR | x b}	Valores menores ou iguais b
Intervalo semi-aberto	( , b[ = { x IR | x < b}	Valores menores do que b
Intervalo semi-aberto	]a, ) = { x IR | x > a }	Valores maiores do que a