Um Grande Matemático - Niels Henrik Abel

A Academia de Ciências e Letras da Noruega e a comunidade matemática mundial finalmente puderam compensar a falta de apoio e reparar a falha cometida contra um dos maiores matemáticos do século 19. Em junho deste ano foi entregue o primeiro Prêmio Abel de Matemática, nome dado em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829).

Como não existe o Prêmio Nobel de matemática, até agora a única honraria de peso exclusiva para esse campo de conhecimento era a Medalha Fields, mas ela só é conferida a cada quatro anos e concorrem apenas acadêmicos com idade abaixo de 40 anos. Já o Prêmio Abel será entregue todo ano e vai levar em conta o conjunto da obra do matemático. O primeiro premiado foi o francês Jean-Pierre Serre, do Collège de France, o mesmo ganhador da Medalha Fields em 1954. O objetivo do prêmio Abel, segundo a academia norueguesa, é elevar o status da matemática na sociedade e incentivar o ingresso de jovens nessa área do conhecimento. Além do mérito, o vencedor leva mais de US$ 800 mil.

Hoje a Noruega pode se dar ao luxo de instituir tal premiação, com cerimônia de entrega com a presença do rei Harald V. Mas há 200 anos o país era pobre e não teve condições de apoiar adequadamente os estudos e trabalhos de seu mais importante matemático. Além de ter nascido em uma família sem recursos, o jovem Abel perdeu o pai aos 18 anos, enquanto estudava na única e recém-inaugurada universidade do país, em Oslo. Do dia para a noite, teve de assumir o sustento de seus seis irmãos e de sua mãe.

Os professores sabiam da excepcional habilidade matemática do jovem e o ajudavam como podiam. Mesmo em meio a dificuldades financeiras, Abel desenvolveu seu mais importante trabalho, que depois da sua morte viria a influenciar o desenvolvimento da chamada teoria de grupos na matemática moderna. Ele demonstrou que não existem fórmulas simples para a solução de equações de grau superior a quatro. Para achar as raízes das equações de segundo grau, por exemplo, os matemáticos já sabiam que podiam contar com a famosa fórmula de Báskara (veja quadro ao lado).

Aos 23 anos de idade, Abel recebeu uma pequena ajuda financeira de seu país para viajar por dois anos pela Europa em busca de melhores condições e de reconhecimento internacional. Uma vez no exterior, Abel passou por sérias necessidades, mas submeteu seu trabalho à apreciação do então renomado Carl-Friedrich Gauss (1777-1855). O matemático alemão, no entanto, não emitiu nenhum parecer sobre o estudo e sequer leu os papéis do norueguês. Em Paris, o também respeitado Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) foi procurado e tudo indica que o francês perdeu os escritos do jovem Abel.

Apesar desses infortúnios, o pobre matemático fez uma sólida amizade com o engenheiro alemão August Leopold Crelle (1780-1855), que na época sonhava em fundar uma revista que se equiparasse aos já consolidados periódicos matemáticos franceses. Foi uma ajuda mútua. Abel pôde divulgar vários de seus trabalhos na publicação de Crelle que, por sua vez, realizou seu sonho editorial. O "Crelle's Journal" é hoje um respeitado periódico com quase 200 anos de história.

Abel não conseguiu se manter mais do que sofridos dois anos fora de seu país e teve de voltar à Noruega sem reconhecimento da comunidade matemática. Trabalhando na universidade de seu país, suas condições financeiras melhoraram, mesmo tendo a responsabilidade de cuidar da família.

Um dia, uma carta do amigo Crelle chegou da Alemanha para Abel. A Universidade de Berlim finalmente o convidava para o cargo de professor, um dos postos mais importantes da época. Outra carta chegou da França: seu trabalho foi reconhecido e premiado também em Paris. Mas era tarde demais. Dois dias antes, com apenas 26 anos de idade e em pleno auge intelectual, o matemático havia morrido de tuberculose, doença que contraiu no exterior, onde sua saúde foi seriamente afetada. Suas condições precárias e sua vida na gélida Noruega teriam agravado ainda mais o seu estado. O jovem Abel só seria mesmo reconhecido postumamente, e a matemática havia perdido um gênio em plena atividade.

fonte: Revista Galileu

Heron de Alexandria: Um pouco de história

Heron de Alexandria - (também escrito como Hero e Herão, 10 d.C. - 70 d.C.) foi um sábio matemático e mecânico grego, do começo da era cristã (século I).

Geômetra e engenheiro grego, Heron esteve ativo em torno do ano 62. É especialmente conhecido pela fórmula que leva seu nome e se aplica ao cálculo da área do triângulo. Seu trabalho mais importante no campo da geometria, Metrica, permaneceu desaparecido até 1896. Ficou conhecido por inventar um mecanismo para provar a pressão do ar sobre os corpos, que ficou para a história como o primeiro motor a vapor documentado, a eolípila.

É de sua autoria um tratado chamado Métrica, que versa sobre a medição de figuras simples de planos sólidos, com prova das fórmulas envolvidas no processo. Tratava da divisão das figuras planas e sólidas e contém a fórmula de Herão (embora esta talvez tenha sido descoberta por Arquimedes) para o cálculo da área de um triângulo e um método (já antecipado pelos babilônios) de aproximação a uma raiz quadrada de números não quadrados.

Sua Mecânica foi preservada pelos árabes e anuncia a regra do paralelogramo para a composição de velocidades. Determina os centros simples de gravidade e discute as engrenagens pelas quais uma pequena força pode ser usada para levantar grandes pesos.

A Catoptrica trata da reflexão da luz por espelhos e demonstra que a igualdade dos ângulos de incidência e reflexão num espelho seguem o princípio de sua fonte ao olho do observador pelo caminho mais curto. Também lhe são atribuídas invenções de diversas máquinas, entre as quais a fonte de Herão e a eolípila (aparelho para a medição dos ventos).

O robô mais antigo do mundo não tinha, naturalmente, cérebro de silício nem era movido a eletricidade — era capaz não apenas de andar como até de apresentar um "teatrinho".

Quem está desenterrando detalhes sobre o autômato do século I d.C. é o cientista da computação britânico Noel Sharkey, da Universidade de Sheffield.

Sharkey vasculhou as obras teóricas de Heron de Alexandria, o criador do autômato, e diz ter descoberto que se trata da primeira máquina guiada por um programa pré-estabelecido ( tal como os computadores modernos).

Sem disco rígido ou memória RAM, a “programação” era incorporada ao robô por meio de cordas, que eram enroladas em determinada seqüência em torno dos eixos de suas rodas dianteiras.

A força motriz vinha do trigo: na parte de trás do autômato, a corda que estava enrolada em torno dos eixos ficava presa a um peso, que por sua vez ficava no alto de um tubo cheio de grãos do cereal.

O tubo tinha um furo, do qual os grãos iam caindo aos poucos, baixando cada vez mais o peso e fazendo os eixos rodarem, movimentando o robô.

Heron, que foi contemporâneo de Jesus Cristo e dos primeiros apóstolos, caprichou na sua invenção: o robô que era capaz de realizar movimentos complexos sem intervenção humana, como ir para frente e para trás automaticamente, cumprindo uma rota pré-determinada, e até mesmo fazer uma pausa em sua "caminhada" e depois retomar o movimento.

Esta não é a primeira vez que Heron ganha fama de pioneiro tecnológico. Relatos sobre o inventor dão conta de que ele criou a primeira máquina de vender bebidas da história, na qual a pessoa colocava uma moeda nela e recebia um jato de água. Água benta, nos templos. Heron era contratado por sacerdotes que queriam seus templos "automatizados" de modo a impressionar os fiéis, e deles tirar dinheiro.

Fonte: Wikipédia, a enciclopédia livre

História da Geometria.

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.
  

Uma medida para a vida

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 3²+4²=5², isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.

Novas figuras

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

O que é bullying?

Atos agressivos físicos ou verbais só são evitados com a união de diretores, professores, alunos e famílias

Bullying é uma situação que se caracteriza por atos agressivos verbais ou físicos de maneira repetitiva por parte de um ou mais alunos contra um ou mais colegas. O termo inglês refere-se ao verbo "ameaçar, intimidar". A versão digital desse tipo de comportamento é chamada de cyberbullying, quando as ameaças são propagadas pelo meio virtual. 

Estão inclusos no bullying os apelidos pejorativos criados para humilhar os colegas. E todo ambiente escolar pode apresentar esse problema. "A escola que afirma não ter bullying ou não sabe o que é ou está negando sua existência", diz o médico pediatra Lauro Monteiro Filho, fundador da Associação Brasileira Multiprofissional de Proteção à Infância e Adolescência (Abrapia), que estuda o problema há nove anos.

Segundo o médico, o papel da escola começa em admitir que é um local passível de bullying, informar professores e alunos sobre o que é e deixar claro que o estabelecimento não admitirá a prática - prevenir é o melhor remédio. O papel dos professores também é fundamental. Eles podem identificar os atores do bullying - agressores e vítimas. "O agressor não é assim apenas na escola. Normalmente ele tem uma relação familiar onde tudo se resolve pela violência verbal ou física e ele reproduz isso no ambiente escolar", explica o especialista. Já a vítima costuma ser uma criança com baixa autoestima e retraída tanto na escola quanto no lar. "Por essas características, é difícil esse jovem conseguir reagir", afirma Lauro. Aí é que entra a questão da repetição no bullying, pois se o aluno reage, a tendência é que a provocação cesse.

Claro que não se pode banir as brincadeiras entre colegas no ambiente escolar. O que a escola precisa é distinguir o limiar entre uma piada aceitável e uma agressão. "Isso não é tão difícil como parece. Basta que o professor se coloque no lugar da vítima. O apelido é engraçado? Mas como eu me sentiria se fosse chamado assim?", orienta o médico. Ao perceber o bullying, o professor deve corrigir o aluno. E em casos de violência física, a escola deve tomar as medidas devidas, sempre envolvendo os pais.

O médico pediatra lembra que só a escola não consegue resolver o problema, mas é normalmente nesse ambiente que se demonstram os primeiros sinais de um agressor. "A tendência é que ele seja assim por toda a vida a menos que seja tratado", diz. Uma das peças fundamentais é que este jovem tenha exemplos a seguir de pessoas que não resolvam as situações com violência - e quem melhor que o professor para isso? No entanto, o mestre não pode tomar toda a responsabilidade para si. "Bullying só se resolve com o envolvimento de toda a escola - direção, docentes e alunos - e a família", afirma o pediatra.

Estágios do desenvolvimento cognitivo da criança.

Piaget ao estudar o pensamento da criança, descobriu que ela passa a conhecer o mundo explorando sensorialmete o meio em que vive.
Os estágios são:

1) Sensório - motor: Período que vai até os 2 anos, a criança utiliza da percepção e das ações, tais como tocar em tudo e engatinhar.

2) Pré - operacional: Esse estágio também chamado de simbólico, que vai dos 2 até aproximadamente os 8 anos, a criança entra em contato com o jogo simbólico, como o faz de conta, importantíssimo para que ela possa compreender o mundo ao seu redor.

3) Operacional concreto: Estágio que vai  entre os 7 ou 8 anos, período também chamado por Piaget de operatório concreto. Ela passa, então, a ter noções de conservação, reversibilidade e compensação. É neste período que a criança terá condições de consolidar noções de número, peso, substância e volume. Ela conseguirá organizar o mundo de forma mais lógio, podendo classificar as coisas conforme suas caracteristicas.

4) Operacional formal: O período que se inicia a partir dos 12 anos é também chamado de abstrato ou hipotético - dedutivo. Nele, o sujeito terá condições de raciocinar logicamente e levantar hipóteses por meios de situações abstratas, sem necessitar do concreto.

(Fonte: Revista Projetos Escolares Matemática)

Os números.

HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

(fonte: somatematica)